有限元缺陷:剪切锁死

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目前有限元数值分析已经广泛用于各行各业,然而在进行数值分析时,有时候会遇到软件计算结果与理论分析不一致的情况,亦或者计算结果不在合理范围内,虽在这过程中我们选择了合理的单元类型以及材料本构模型,但最终的结果就是无法解释,这可能就涉及到了有限元分析中常见的四大缺陷:剪切锁死、体积锁死、沙漏模式以及零能模式。
今天水哥和大家聊一聊剪切锁死,又可以称之为剪切自锁、剪力自锁等,以下内容仅为个人观点,难免有局限,欢迎指正。
首先阐述下剪切锁死的基本概念,以常见材料力学里面的平截面假定为例,先放一张图,如下所示。

有限元缺陷:剪切锁死

在上述图中,第一个模型为材料力学中的平面截面假定,截面在受弯作用下发生纯弯变形时,上表面受水平拉应力作用伸长,下表面受水平压应力作用而压缩,变形前与中截面垂直的面在变形后仍然与中截面保持垂直,变形前后竖向直线长度不变,且竖向直线总是与上下表面垂直,也即没有剪切变形,剪应力为0,此时截面变形为理论计算中的纯弯曲变形。
第二个模型为有限元中的模型截面前后对比,数值分析时,我们需将截面离散化,当我们采用线性单元分析时,由于每个边为由两个节点组成,单元在变形前后仍然保持为直线,上表面拉伸,下表面压缩,故中间直线便不再保持为直线,而有了增大或者减小,也即发生了剪切变形,由于剪切变形的存在消耗部分变形能,导致单元变的过硬,弯曲变形减小,从而与理论计算出现一定差距,这就是所谓的剪切锁死现象。
简言之,剪切锁死是指在理论上没有剪切变形的单元中发生了剪切变形,也可称之为伴生剪切,一般发生于在受纯弯状态下,采用线性单元全积分时,主要现象使得模型弯曲刚度增大导致变形偏小,解决方法有如下:
1、采用缩减积分;
2、细化网格;
3、采用非协调单元;
4、假定剪切应变法
下面以某简支梁为例,来简单验算下有限元中的剪切锁死现象。如下所示简支梁,梁长2米,截面尺寸为0.2mx0.2m,材料E=30Gpa,U=0.2,中间受均布荷载F=20kN/m,中间位置最大位移理论计算值:
W=5ql^4/(384EI)=5*20*2000^4*12/(384*30e4*200^4)=1.042mm

有限元缺陷:剪切锁死

计算时,采用Plane182考虑厚度的平面应力单元,积分方式采用全积分,分别计算如下网格控制的模型,按照网格从疏到密的程度分别表达为模型一~模型五。

有限元缺陷:剪切锁死

各模型ANSYS计算结果如下:

有限元缺陷:剪切锁死

从结果可见,模型一~模型四与理论计算值均有较大的误差,最大误差为模型一,达到了约30.36%,这在工程上是不可接受的,而模型五与理论计算值则比较接近。究其原因,主要在于模型一~模型四均发生了不同程度的剪切锁死现象,从这儿也可以发现发生剪切锁死现象主要与两种情况相关:
1、单元形状
当划分单元后,单元越狭长,越容易发生剪切锁死现象,例如上述的模型二~模型四,划分后单元长宽比较大,而模型五单元尺寸长宽相近。
2、单元受力情况
即使单元尺寸满足条件,但若单元受力使得单元变形以纯弯曲为主,这时候发生剪切锁死的概率就会比较大,例如模型一。
前文有讲,要消除剪力自锁现象,主要有四种方法,就ANSYS来讲,以上文案例为例,可行的操作方法如下:
一、采用缩减积分方法进行
用常规的线性实体单元,软件默认采用全积分格式,即在每一个方向存在两个高斯积分点,这样两点确定一条直线,在单元变形后每条边仍然是直线,就可能造成剪力锁闭。如果对同一个单元只采用一个积分点,是不是就可以避免剪力锁闭?这或许是可能的,但一个高斯积分点会不会降低计算精度呢?通过计算分析来说明,仍然采用上面的分析模型,同样的计算网格,通过设置Plane182的单元关键项1采用缩减积分,计算结果如下:

有限元缺陷:剪切锁死

从表中可见,虽然采用了缩减积分,还是有相当大的误差,特别是模型一,甚至出现了反常的结果,故有时即使采用了缩减积分,但如果网格尺寸没到位,结果误差还是较大,这主要与有限元缺陷的另外一种缺陷 沙漏 有关,这种缺陷我们下篇文章在讨论。
二、采用非协调单元
虽然减缩积分可以在一定程度上消除剪切锁死现象,但有时候效果不佳,有时候还会出现沙漏现象,如上文案例。这里再来介绍另外一种方法,就是强化应变单元模式(enhanced strain),也称为非协调单元。其主要思路在于采取某种方式让应变沿一个方向呈线性变化,通过增加一些虚拟的附加自由度,让单元内部应变模式为线性变化。由于这种增加变形梯度完全是在单元内部,与单元节点无关,因此,即不增加求解结构的整体自由度数,也可以保证在边界上位移仍然是连续的。仍然采用上面的分析模型,同样的计算网格,通过设置Plane182的单元关键项1采用增强应变算法,计算结果如下:

有限元缺陷:剪切锁死

从结果可见,采用此方法后,模型一~模型四均有根本性的改变,采用强化变形模式后有限元数值分析的结果与理论解非常接近,这说明强化应变单元的效果非常不错。当然,强化应变单元也有它本身的限制和弱点,比如当单元形状比较畸形时计算结果会非常差,这里所说的畸形是指单元每条相邻两条线的夹角如果太大或太小,就可能导致非常不好的结果;若相邻两条边的夹角接近90度,则是采用强化应变单元,那是再好不过的。
三、采用高阶单元
剪切锁死产生的本质原因是由于以弯曲变形为主要变形的结构在用有限元分析时,由于采用线性单元离散,在边界上仍然是线性变形。那么增加单元的形函数阶次,就可以在一定程度上消除剪切锁死现象,但由于单元节点增加,计算工作量就提高不少。
总结:
剪切锁死是否会产生,与结构受力、单元形状、单元模式选取等多因素相关,当剪切锁死不可避免时,可以采用减缩积分、强化应变单元、高次单元等方法去尽可能的消除这种现象,但也要了解每一种方法的适用范围、优缺点等,选取合适、正确的方法去进行分析,只有这样,才能得到合理的计算结果。
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祝好
ANSYS结构院
2020.09.07

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